Teoria da Reminiscência

Muitas pessoas ainda não dão o valor merecido ao trabalho artesanal, " o feito-a- mão", talvez por falta de informação, mas é bom saber que quem tem o dom para desenvolver habilidades de cortar pedaços de tecidos num padrão geométrico como no quilting, patchwork, ou até mesmo um alfaiate com suas peças do vestuário, todos que se prestam a construção de alguma coisa esta praticando não só uma ato filosófico, transcendental como também um ato extremamente científico e de alta relevância matemática. Não é por acaso que essas atividades estão sendo estudadas por pesquisadores do mundo todo.

Leiam esse diálogo e reflitam mais sobre a geometria como ferramenta capaz de despertar para as grandes verdades eternas e a relação com o auto-conhecimento progressivo e gradual para quem o exercita.

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Ménon é um dos diálogos de Platão, que coloca Sócrates em diálogo com o estudante Ménon, o qual pretende que Sócrates lhe explique o que é a virtude. Numa certa passagem do diálogo, Ménon pede ao mestre que lhe explique a razão da sua opinião sobre a aprendizagem. Platão, através de Sócrates, propõe que nada aprendemos, mas apenas nos recordamos de conceitos que já sabíamos através da nossa alma. Neste diálogo, Sócrates passa a demonstrar essa afirmação usando conceitos matemáticos. 

Segundo David Fowler, esta parte do diálogo Ménon é o primeiro texto directamente conhecido sobre a matemática grega, datando provavelmente de 385 a.C.. Escritos mais antigos não sobreviveram, e são conhecidos apenas através de referências de terceiros. 

MÉNON: Mas limitas-te a afirmar que não aprendemos nada, e que aquilo a que chamamos aprender não é mais do que recordar? Podes mostrar-me que assim é? 

SÓCRATES: Já te disse, Ménon, que és muito malicioso. Pedes-me uma lição, quando acabo de afirmar que não há ensino, que há apenas reminiscência. Pretendes fazer-me cair imediatamente em contradição comigo mesmo. 

MÉNON: De modo nenhum, Sócrates, por Zeus! Não tinha essa intenção e falei assim apenas por hábito. Se tiveres alguma maneira de me fazeres ver que é como dizes, mostra-mo. 

SÓCRATES: Não é fácil, mas gostaria de tentar, por amizade a ti. Chama um dos muitos escravos que te acompanham, aquele que quiseres, e far‑te‑ei ver o que desejas. 

MÉNON: De bom grado. (Dirigindo-se a um jovem escravo:) Vem cá. 

SÓCRATES: É grego? Fala a nossa língua? 

MÉNON: Perfeitamente; nasceu em minha casa. 

SÓCRATES: Presta bem atenção e vê se ele parece recordar-se ou se parece aprender comigo. 

MÉNON: Prestarei atenção. 

SÓCRATES: Diz-me, rapaz, sabes que esta figura é um quadrado? 

ESCRAVO: Sim. 

SÓCRATES: O quadrado tem estas quatro linhas iguais? 

ESCRAVO: Sim. 

SÓCRATES: E estas linhas que o atravessam pelo meio são também iguais? 

ESCRAVO: Sim. 

SÓCRATES: Uma figura deste género pode ser maior ou mais pequena? 

ESCRAVO: Certamente.

SÓCRATES: Se este lado tivesse dois pés de comprimento e este outro também, quantos pés mediria o todo? Repara bem: se este lado fosse de dois pés e aquele outro fosse de um pé somente, não é verdade que o espaço seria de uma vez dois pés ? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Mas, como o segundo é também de dois pés, não faz isso duas vezes dois? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Portanto, a figura é agora de duas vezes dois pés. ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Quantos são duas vezes dois pés? Faz a conta e diz-me! ESCRAVO: Quatro. SÓCRATES: Não seria possível ter uma figura dupla desta, mas semelhante, tendo também todas as suas linhas iguais? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Quantos pés teria? ESCRAVO: Oito. SÓCRATES: Ora tenta dizer-me qual seria o comprimento de cada linha da nova figura. Nesta, a linha tem dois pés; quantos terá a linha da figura dupla? ESCRAVO: É evidente, Sócrates, que terá o dobro. SÓCRATES: Vês, Ménon, que não lhe estou a ensinar nada e que me limito a interrogá-lo? Neste momento ele julga saber qual é o comprimento do lado que dá um quadrado de oito pés. Concordas comigo? MÉNON: Sim. SÓCRATES: Mas sabe-o? MÉNON: Certamente que não. SÓCRATES: Ele julga que esse lado é o dobro do precedente. MÉNON: Sim. SÓCRATES: Agora observa como ele se vai recordar duma maneira correcta. (Dirigindo-se ao escravo:) Responde-me. Dizes que a linha de comprimento duplo produz a figura de tamanho duplo? Repara: não me refiro a uma figura comprida aqui e curta ali. Pretendo um figura como esta, igual em todos os sentidos, mas que tenha uma extensão dupla, ou seja, de oito pés. Vê se ainda julgas que ela se obtém por duplicação da linha. ESCRAVO: Penso que sim. SÓCRATES: Esta linha estará duplicada se lhe juntarmos, a partir deste ponto, outra de igual comprimento? ESCRAVO: Sem dúvida. SÓCRATES: É então sobre esta linha que se constrói a figura de oito pés, traçando quatro linhas iguais? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Tracemos então quatro linhas iguais, tomando esta para modelo. Eis uma figura que tu dizes ter oito pés? ESCRAVO: Certamente. SÓCRATES: Mas não contém ela quatro quadrados iguais ao primeiro, o qual tem quatro pés? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Qual é então a sua extensão? Não é quatro vezes maior? ESCRAVO: Sem dúvida. SÓCRATES: Uma coisa quatro vezes maior do que outra é o dobro dela? ESCRAVO: Não, por Zeus! SÓCRATES: Então o que é? ESCRAVO: O quádruplo. SÓCRATES: Portanto, dobrando a linha, não se constrói a figura dupla, mas sim quádrupla. ESCRAVO: É verdade. SÓCRATES: E quatro vezes quatro são dezasseis, não são? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Então com que linha obteremos uma figura de oito pés? Esta deu-nos uma figura quádrupla, não deu? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: E aquela linha com metade do comprimento deu-nos uma figura de quatro pés? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Muito bem. E uma figura de oito pés não é dupla desta e metade daquela? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Não terá então uma linha maior do que esta e menor do que aquela? ESCRAVO: Penso que sim. SÓCRATES: Correcto. Responde sempre conforme a tua opinião. Ora diz‑me, não tinha a primeira linha dois pés e a segunda quatro? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Portanto, para a figura de oito pés, é necessária uma linha mais comprida do que a de dois pés mas mais curta do que a de quatro. ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Tenta dizer-me qual o seu comprimento. ESCRAVO: Três pés. SÓCRATES: Para que a linha tenha três pés basta juntar, a esta, a metade do seu comprimento: dois pés mais um pé. E, neste lado, também dois pés mais um pé. Eis a figura que tu pretendes? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Mas se a figura tem três pés neste lado e três pés naquele lado, não é ela de três vezes três pés? ESCRAVO: Parece que sim. SÓCRATES: E quantos são três vezes três pés? ESCRAVO: Nove. SÓCRATES: Mas, para que a figura fosse dupla da primeira, quantos pés deveria ter? ESCRAVO: Oito. SÓCRATES: Então não é ainda a linha de três pés que nos dá uma figura de oito pés? ESCRAVO: É verdade que não. SÓCRATES: Que linha é então? Tenta dizer‑no‑la exactamente, e se preferires não fazer contas, mostra‑no‑la na figura. ESCRAVO: Por Zeus, Sócrates, não sei! SÓCRATES: (Voltando-se para Ménon:) Vês, Ménon, a distância que ele já percorreu no percurso da reminiscência? A princípio, não sabendo o lado do quadrado de oito pés, que aliás ainda não sabe, julgava sabê-lo e respondia com segurança, como se soubesse, sem qualquer sentido da dificuldade. Agora tem consciência do seu embaraço e, embora não saiba, pelo menos não julga que sabe. MÉNON: Tens razão. SÓCRATES: Não está ele agora em melhor posição relativamente àquilo que ignorava? MÉNON: Também admito que sim. SÓCRATES: Embaraçando-o, e entorpecendo-o como faz a tremelga, ter‑lhe‑emos causado algum dano? MÉNON: Creio que não. SÓCRATES: Pelo contrário, ajudámo-lo a descobrir a sua posição relativamente à verdade. Agora, como ignora, terá prazer em procurar; enquanto que anteriormente ele não hesitaria em dizer e em repetir com confiança perante uma multidão que, para duplicar um quadrado, se deve duplicar o lado. MÉNON: É provável. SÓCRATES: Crês que ele se disporia a procurar e a aprender uma coisa que ele não sabia, mas que julgava saber, antes de se ter sentido embaraçado por ter tomado consciência da sua ignorância, e de ter sentido o desejo de saber? MÉNON: Não creio, Sócrates. SÓCRATES: Portanto, o entorpecimento foi-lhe proveitoso. MÉNON: Sou dessa opinião. SÓCRATES: Observa agora o que esse embaraço o vai fazer descobrir, procurando comigo, sem eu lhe ensinar nada, pois tenciono apenas interrogá‑lo. Vê se consegues surpreender-me a dar-lhe ensinamentos ou explicações, em vez de me limitar a pedir a sua opinião. (Dirigindo-se ao escravo:) Diz-me, rapaz, temos então aqui uma figura de quatro pés? Compreendes? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Podemos juntar-lhe este outro, que lhe é igual? ESCRA VO: Sim. SÓCRATES: E ainda este outro, igual a cada um dos dois primeiros? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: E podemos completar a figura, colocando este outro neste canto vazio. ESCRAVO: Perfeitamente. SÓCRATES: Não temos nós agora quatro figuras iguais? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Todas juntas, quantas vezes são maiores do que esta? ESCRAVO: Quatro vezes. SÓCRATES: Mas nós pretendemos uma figura dupla; lembras-te? ESCRAVO: Sem dúvida. SÓCRATES: Estas linhas, que vão dum ângulo a outro, não dividem ao meio cada um dos quadrados? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Eis, portanto, quatro linhas iguais que delimitam um novo quadrado. ESCRAVO: Vejo. SÓCRATES: Repara bem: qual é a extensão deste quadrado? ESCRAVO: Não sei. SÓCRATES: Estas linhas não dividem ao meio cada um dos quadrados? Sim ou não? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Quantas destas metades há no quadrado do meio? ESCRAVO: Quatro. SÓCRATES: E neste aqui? ESCRAVO: Duas. SÓCRATES: O que é quatro em relação a dois? ESCRAVO: O dobro. SÓCRATES: Quantos pés tem então este quadrado? ESCRAVO: Oito. SÓCRATES: E sobre que linha foi ele construído? ESCRAVO: Sobre esta linha. SÓCRATES: A linha que vai dum ângulo a outro no quadrado de quatro pés? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: A esta linha os sofistas chamam a diagonal. Se este é o seu nome, dizes que a figura dupla se forma sobre a diagonal. ESCRA VO: Assim é, Sócrates. SÓCRATES: Que te parece, Ménon? Exprimiu ele alguma opinião que não tivesse tirado de si próprio? MÉNON: Nenhuma; tirou tudo do fundo de si próprio. SÓCRATES: E, contudo, ele não sabia, como há pouco verificámos. MÉNON: É verdade. SÓCRATES: Então estas opiniões estavam algures dentro dele, não estavam? MÉNON: Sim. SÓCRATES: Portanto, quem não sabe tem dentro de si opiniões verdadeiras acerca daquilo que ignora. MÉNON: Parece que sim. SÓCRATES: Ao serem despertadas, as opiniões verdadeiras tem o efeito dum sonho. Mas se as mesmas questões lhe forem postas frequentemente e de diversas maneiras, poderás estar certo de que chegará a possuir um conhecimento tão exacto como o mais sabedor. MÉNON: É o que parece. SÓCRATES: Saberá sem que ninguém o ensine, mediante um simples interrogatório, encontrando a ciência no seu próprio interior. MÉNON: Sim. SÓCRATES: Mas encontrar em si mesmo a ciência não será recordar-se? MÉNON: É. SÓCRATES: E não terá, ou adquirido nalguma ocasião, ou sempre tido, a ciência que agora possui? MÉNON: Sim. SÓCRATES: Ora, se sempre possuiu o conhecimento então sempre soube. E, se o adquiriu nalguma ocasião então não foi nesta vida. Ou, acaso, alguém ensinou geometria ao teu escravo? Aliás, repetiria com todas as demais ciências o que acaba de fazer com a geometria. E, então, quem foi que o instruiu relativamente às ciências? Poderás responder-me, pois ele nasceu, como disseste, em tua casa, e aí cresceu. MÉNON: Asseguro-te que ninguém lhe ensinou nada. SÓCRATES: E, todavia, ele possui efectivamente tais conhecimentos. Ou, acaso, achas que não? MÉNON: Sim, caro Sócrates, é manifesto que os possui.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá, João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa, Universidade Aberta, 2000 (Pág. 342-350)

No Ménon, Sócrates interroga um jovem escravo e leva-o a descobrir como duplicar a área de um quadrado.

Porquê um escravo?

porque, sendo escravo, está garantido à partida que nada aprendeu nesta vida, de modo que fica provado que todo o conhecimento que venha a revelar deve ser uma recordação de uma vida anterior. 

Com este episódio o que é que Platão consegue mostrar?

• que conhecemos verdades matemáticas que não aprendemos nem pelo ensino nem pela experiência
• que os seres matemáticos são um exemplo das verdades imutáveis e universais que podemos aprender por recordação
• que, por isso, deve existir um reino de verdades absolutas e imutáveis, fonte e base de todo o nosso conhecimento.

Mas, que papel desempenham as Matemáticas no Ménon?

• elas funcionam, em primeiro lugar, como método. Já na primeira tentativa de determinar a essência da virtude se recorre, como prova, à definição da figura. Na segunda parte do diálogo, onde Sócrates e Ménone enfrentam novamente o problema de saber o que é a virtude, é outra vez ao exemplo das matemáticas que recorrem. Ainda não sabem o que é a virtude mas, como o que fundamentalmente lhes interessa é saber se pode ser ensinada, Sócrates formula o problema de outro modo, ao perguntar qual deverá ser a natureza da virtude, para que seja susceptível de ser ensinada. Trata-se assim de recair no conhecido postulado de que a virtude não é mais que um saber. E de novo é invocado o exemplo dos geómetras em apoio deste método. 

• elas são tidas em conta para ilustrar o tipo de saber que Sócrates se propõe como objectivo. Este tipo de saber tem em comum com as matemáticas o facto de não estar submetido ao campo do perceptível. Sócrates explica-o a Ménone, fazendo com que o escravo, um homem novo sem qualquer cultura embora não desprovido de talento, descubra por si próprio, mediante perguntas apropriadas, a regra do quadrado da hipotenusa com base numa figura toscamente desenhada no chão. Esta experiência constitui o momento mais brilhante do diálogo. Platão deixa-nos contemplar as reflexões que levam Sócrates à aceitação da existência de um conhecimento não redutível à experiência sensível. Como é natural, sem o auxílio de Sócrates, o jovem jamais teria dado os passos necessários à descoberta daquela complicada realidade matemática. Antes de compreender a verdadeira razão do problema, o escravo incorre em todos os erros em que forçosamente cai toda a inteligência que não tem outro horizonte senão o que lhe é aberto pelos sentidos. Mas, por fim, a certeza brota do seu interior. E não é do ensino mas da consciência da necessidade das relações matemáticas em causa que essa convicção resulta. 

(...)

Para Platão, a missão da filosofia era descobrir o conhecimento escondido atrás do véu da opinião, das aparências, da mudança e da ilusão do mundo temporal. Nesta tarefa a matemática ocupava um lugar central, pois o conhecimento matemático era o exemplo perfeito do conhecimento independente dos sentidos, conhecimento de verdades necessárias e eternas.

No livro Meno, de Platão, Sócrates questiona um jovem escravo e leva-o a descobrir que a área do quadrado grande (v. figura) é o dobro da área de ABCD,cuja diagonal tem o comprimento do lado do quadrado grande. Como é que o jovem escravo sabe isto? Sócrates afirma que o rapaz não o aprendeu nesta vida mortal; por isso o seu conhecimento deve ser uma recordação da vida antes do nascimento.

Para Platão, este exemplo mostra que existe conhecimento verdadeiro, conhecimento do eterno. Platão argumenta que:

1. Conhecemos verdades da geometria que não aprendemos nem através da educação nem da experiência; 
2. Este conhecimento é um exemplo das verdades imutáveis e universais que, realmente, aprendemos e reconhecemos; 

Assim, deve existir um reino da verdade absoluta e eterna, a fonte e a base do nosso conhecimento do bem

Davis, Philip J. e Hersh, Reuben, A Experiência Matemática, Ciência Aberta, n.º 75, pág. 305-306

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Fonte: http://www.prof2000.pt/users/amma/af18/t5/t5.htm