Infinito

Infinito

Usado em sentido figurado pode significar Deus, o Absoluto ou o Eterno.É um conceito usado em vários campos, como a matemática, filosofia e a teologia. É representado com o símbolo ∞, e na matemática é uma noção quase-numérica usada em proposições. 

Distingue-se entre infinito potencial e infinito atual.O infinito pode ser visto de muitas perspetivas. A intuição percebe-o como uma espécie de "número" maior do que qualquer outro.

Para algumas tribos primitivas é algo maior que três, representando "muitos", algo incontável. Para um fotógrafo o infinito começa a dez metros da lente, ao passo que para um cosmólogo pode não ser suficiente para conter o universo.  Para um filósofo é algo que tem a ver com a eternidade e a divindade. 

Mas é na matemática que o conceito tem as suas raízes mais profundas, sendo a disciplina que mais contributos deu para a sua compreensão.

Em matemática, conjuntos infinitos foram primeiramente considerados por Georg Cantor, por volta de 1873. Cantor observou que conjuntos infinitos podem ter tamanhos diferentes, distinguindo entre conjuntos infinitos contáveis e incontáveis, e desenvolveu sua teoria de números cardinais baseado nesta observação.

A matemática moderna aceita o infinito real. Por exemplo, as linhas e superfícies da geometria são interpretados pela matemática contemporânea como conjuntos infinitos de pontos. Certos sistemas numéricos estendidos, tais como os números surreais, incorporam os números (finitos) ordinais e os números infinitos de diferentes tamanhos.

Na antigas cosmologias, o céu era considerado como uma cúpula sólida, ou firmamento.[11] Em 1584, Giordano Bruno propôs um universo sem limites na sua obra Sobre o Infinito, o Universo e os Mundos: "existem incontáveis sóis; incontáveis terras giram em torno destes sóis de maneira semelhante à forma como os sete planetas giram em torno do nosso sol".[12]

Os cosmólogos há muito procuram descobrir se o infinito existe no nosso universo: haverá um número infinito de estrelas? O universo tem volume infinito? O espaço continua indefinidamente? Esta é uma questão em aberto na cosmologia. 

A superfície bidimensional da terra, por exemplo, é finita, e apesar disso ainda não tem nenhuma descontinuidade. Viajando numa linha reta irá acabar por retornar ao ponto exato de partida.

O universo, pelo menos em princípio, pode ter uma topologia semelhante; se viajar em linha reta através do universo, é concebível que acabe por revisitar o seu ponto de partida.

Se, por outro lado, o universo for curvado como uma esfera, mas tiver uma topologia simples, lisa, então poderia ser ilimitado e infinito. Os raios de luz das estrelas, usados pelos agrimensores (geólogos) egípcios, eram considerados como provenientes do infinito

Pintura e artes visuais

Técnica de aplicação de pontos de fuga, por Hans Vredeman de Vries (1608).

Na arte, a perspectiva utiliza o conceito de um ponto de fuga imaginário, ou pontos no infinito, localizados a uma distância infinita do observador. Isso permite aos artistas criar pinturas que retratam de forma realística o espaço, distâncias e os objetos. A principal diferença entre a arte da Idade Média e a do Renascimento foi a introdução da terceira dimensão.

A pintura renascentista é caraterizada pelo realismo, introduzido pela perspectiva com o auxílio da matemática. Isso implicava um processo de racionalização que agradava ao pintor, pois o artista renascentista era também um cientista. 

M. C. Escher é um artista que se tornou conhecido pelo interesse que os seus trabalhos despertam em matemáticos e físicos. Teve bastante sucesso a fazer representações do infinito. Fê-lo através de duas técnicas: uma foi usar dentro da imagem uma superfície não plano, como seja uma esfera, onde conseguia desenhar uma padrão que se repetia infinitamente. 

Outra foi usar geometrias não euclidianas, que aprendera com o matemático H.S.M. Coxeter, como é o caso dos famosos padrões com serpentes e peixes. Também não podem deixar de ser referidas as figuras "impossíveis", tais como a escadaria que, embora sendo finita, forma uma espiral sem fim. Cada detalhe parece perfeitamente normal ao abservador, no entanto a imagem global confronta a realidade.[

Literatura

O autor argentino Jorge Luís Borges destacou-se por escrever sobre temas relacionados com a filosofia e metafísica. Nos seus contos descreve labirintos, repetições cíclicas e alusões ao infinito. O sue conto "A Biblioteca de Babel" é exemplar dessa forma de escrita. Descreve um mundo constituído por uma biblioteca que teria todos os livros possíveis, discursando sobre as implicações de tal biblioteca.

Grécia antiga

Método de aproximação ao número π usado por Arquimedes.

Só se sentiu a necessidade de pensar sobre o infinito quando a matemática passou de uma disciplina exclusivamente prática para uma disciplina teórica, o que veio a acontecer na Grécia Antiga, no século VI a.C.

Apesar de o infinito matemático ser reconhecido por filósofos como Pitágoras, Parménides e Platão, era tomado como um conceito "negativo": algo irracional, inacessível, até mesmo intratável.

O pensamento de Aristóteles (384 - 322 a.C.) foi o que permaneceu dominante tendo uma forte influência de pensar o infinito, pela filosofia e teologia até ao século XVII.[4] Aristóteles nega a existência do infinito tomado como completo, quer ele seja físico ou abstrato.

Giordano Bruno (1548 - 1600) foi uma voz discordante da doutrina aristotélico-tomista dominante. Na sua obra de 1584, Sobre o Infinito, o Universo e os Mundos discute as consequências filosóficas da substituição do modelo do mundo de Nicolau Copérnico (1473 - 1543), fechado por uma esfera exterior, pelo modelo de Thomas Diggs (1546 - 1595), que questionava a existência dessa esfera. Bruno defende a existência do infinito não transcendental e discute a argumentação finitista de Aristóteles e Tomás de Aquino.[22]

Galileu Galilei (1564 - 1642), atomista e contra a tradição aristotélica dominante, deu um passo ousado ao afirmar claramente a possibilidade de divisão de um segmento de reta numa infinidade de elementos "primeiros", não quantos, isto é, sem extensão: "(a subdivisão) pressupõe que as partes são infinitas, porque de contrário a subdivisão seria terminável; e o serem partes infinitas, extrai-se como consequência do serem não quantas".

Apesar de ousado na filosofia, Galileu era prudente como matemático, e não deu o passo seguinte de aceitar o infinito em ato como parte da matemática. Com base nas ideias de Galileu, os seus discípulos desenvolveram a "geometria do indivisível", que foi fundada por Bonaventura Cavalieri (1598–1647) e desenvolvida por Evangelista Torricelli (1608 - 1647). John 

Wallis (1616 - 1603), autor de Arithmetica Infinitorum (1656), foi o terceiro grande nome do método dos indivisíveis, que seria a premissa para o desenvolvimento do cálculo infinitesimal (ou diferencial).[4]

Gottfried Leibniz (1646 - 1716) publicou a primeira exposição do cáclulo diferencial em 1664, na Acta Eruditorum, no ensaio Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus (novo método para achar os máximos e mínimos, assim como as tangentes). Em paralelo e de forma independente, Isaac 

Newton (1642 - 1727) desenvolveu um método equivalente, mas que só foi publicado em 1687, no Philosophiae naturalis principia mathematica.Esta descobertas independentes geraram uma disputa azeda sobre a autoria, que chegaram a ter contornos políticos derivados do prestígio para os seus países,

Alemanha e Grã-Bretanha.

Os métodos de Leibniz e Newton marcaram o triunfo do infinito na matemática, mas restava ainda muita controvérsia sobre a natureza destes infinitesimais.

São mesmo zero? São átomos muito pequenos mas maiores que zero?

A expressão mais acutilante desta questão foi a do bispo George Berkeley (1685 - 1753), que em 1753 publicou uma obra satirizando e ridicularizando os fundamentos do cálculo infinitesimal.

Idade Contemporânea

Bernard Bolzano (1781 - 1848) mostrou que a maioria das antinomias do infinito podiam ser reduzidas a paradoxos (algo que parece contraditório ao senso comum, mas não o é efetivamente) através de raciocínio lógico.

Georg Cantor (1845 - 1918) foi o primeiro a conseguir um tratamento racional e matemático do infinito, e a afirmar o infinito atual como objeto pensável e tratável de forma racional, e contra a filosofia deKant, que prevalecia na época.

Até esse momento, o conceito de infinito atual tinha sido rejeitado por grandes pensadores como Galileu, Leibniz, Newton e até mesmo Gauss, devido às dificuldades geradas pelas suas contradições. Cantor terá se inspirado no trabalho de Nicolau de Cusa, a quem se refere em notas de rodapé em Grundlagen, e caraterizou o infinito pela sua cardinalidade.

Chamou conjunto contável aos conjuntos infinitos para os quais é possível estabelecer uma correspondência biunívoca de todos os seus elementos com o conjunto de todos os números naturais. A essa correspondência chama-se equipotência.

Cantor mostrou que os números racionais são contáveis, mas que os números reais não. Através do seu argumento de diagonalização provou porabsurdo que não é possível estabelecer essa correspondência. Os números reais são "mais" que os naturais, ou dizendo melhor, têm uma cardinalidade superior. Correspondem a uma ordem de infinito superior à dos naturais.

Cantor estabeleceu a existência de uma escala ordenada de potências de infinito, potencialmente infinita, o que levantava a questão da existência ou não de um infinito absoluto, superior a todo e qualquer infinito. Esse conceito parece estar para além do racional.